des tétraèdres remarquables

Le tétraèdre régulier et le tétraèdre trirectangle régulier s'obtiennent facilement à partir d'un cube.


un tétraèdre régulier	un tétraèdre trirectangle régulier	un diamant composé de ces deux pyramides régulières

On peut de même définir d'autres types de tétraèdres (non réguliers) à partir d'un parallélépipède rectangle.


un tétraèdre équifacial (disphénoïde)	un tétraèdre trirectangle	un tétraèdre équifacial à faces isocèles (disphénoïde tétragonal)	un tétraèdre à faces rectangles (non équifacial)

Voici deux autres tétraèdres intéressant définis dans un cube (1/24^e du volume du cube) :
• si on découpe le premier (bleu) le long de chacune des douze arêtes d'un cube il reste une étoile de Kepler (voir puzzles),
• 6 du second (magenta) peuvent constituer un rhomboèdre aplati, 8 un octaèdre (la plus longue arête en commun), 24 un cube (deux le long de chaque arête), 6×8=48 un dodécaèdre rhombique (six octaèdres avec un sommet en commun); douze octaèdres avec un sommet en commun constituent un dodécaèdre rhombique étoilé.

quelques propriétés des tétraèdres

Il n'est peut-être pas inutile de rappeler que le tétraèdre est le polyèdre "le plus simple" : on ne peut avoir moins de 4 faces, 4 sommets et 6 arêtes (avec 3 sommets et 3 côtés, le triangle est le polygone "le plus simple").
Le volume V d'un tétraèdre est le tiers du volume du prisme qui a même base d'aire A et même hauteur h : V=(A×h)/3
(voir exercice en fin de page).
Chacune des faces du tétraèdre peut évidemment servir de base, comme chaque côté d'un triangle peut servir de base pour le calcul de son aire : A=(l×h)/2.
Généralisation des "centres" d'un triangle : tout tétraèdre est inscriptible dans une sphère et admet une sphère inscrite (tangente à ses faces).
Les quatre perpendiculaires aux plans des faces et passant par les centres des cercles circonscrits aux faces sont concourantes au centre de la sphère circonscrite au tétraèdre.
Le centre I de la sphère inscrite à un tétraèdre (ABCD) vérifie I = (Sa/S)A+(Sb/S)B+(Sc/S)C+(sd/S)D où Sa, Sb, Sc et Sd sont les aires des faces opposées à A, B, C et D respectivement, et S=Sa+Sb+Sc+Sd l'aire du tétraèdre.
Dans un triangle ABC le centre I du cercle inscrit vérifie I = (a/p)A+(b/p)B+(c/p)C où a, b et c sont les longueurs des côtés opposés à A, B et C respectivement, et p=a+b+c le périmètre du triangle.
Généralisation de la formule de Héron (volume du tétraèdre) : pour un tétraèdre d'arêtes opposées a et a', b et b', c et c' V²=[4a²b²c²-a²(b²+c²-a'²)²-b²(c²+a²-b'²)²-c²(a²+b²-c'²)²+(b²+c²-a'²)(c²+a²-b'²)(a²+b²-c'²)]/144

On préfère souvent le volume en fonction des coordonnées des sommets

aire d'un triangle par Héron : côtés a, b et c, A²=s(s-a)(s-b)(s-c) où s=(a+b+c)/2 est le demi-périmètre.
aire d'un quadrilatère convexe : côtés a, b, c et d A²=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd×cos(S)²

où s=(a+b+c+d)/2 est le demi-périmètre et S la demi-somme de deux angles opposés ; pour les quadrilatères inscriptibles cos(S)=0.
Tout tétraèdre admet une sphère circonscrite (la sphère définie par ses quatre sommets, dont le centre peut être extérieur au tétraèdre) et une sphère inscrite (tangente aux faces).
La détermination des centres et le calcul des rayons ne sont pas aisés pour un tétraèdre sans propriété particulière. Évidemment, dans le cas du tétraèdre régulier les choses sont simples (voir exercice en fin de page).

Tout tétraèdre est "inscriptible" dans un parallélépipède de volume le triple de celui du tétraèdre.

preuve : le calcul est facile dans le cas d'un tétraèdre régulier inscrit dans un cube d'arête 1 (chacun des quatre tétraèdres trirectangles a un volume de 1/6 ; il reste donc 1/3 pour le tétraèdre régulier).
On généralise facilement : les quatre pyramides ont même volume (même hauteur, celle du parallélépipède, et bases de même aire, la moitié de celle de la base du parallélépipède).

Les arêtes du tétraèdre sont six des douze diagonales des faces du parallélépipède.
Les six autres diagonales des faces du parallélépipède définissent un second tétraèdre de même volume. La réunion de ces deux tétraèdres est un "anti-parallélépipède" (anticube déformé).

Cette figure peut être modifiée dynamiquement en déplaçant les sommets du tétraèdre (points jaunes) avec le pointeur de la souris.
La touche "f" est une bascule d'affichage des faces ou seulement des arêtes.

Généralisation du théorème de Varignon :
les trois segments joignant les milieux d'arêtes opposées d'un tétraèdre ont même milieu.

Dans tout quadrilatère (même non convexe) les milieux des côtés sont les sommets d'un parallélogramme. Si le quadrilatère a ses diagonales de même longueur (resp. perpendiculaires) alors on obtient un losange (resp. un rectangle).
Quatre points définissent trois quadrilatères (sur la figure de gauche l'un est convexe et les deux autres sont croisés) dont les trois parallélogrammes de Varignon ont même centre (le milieu commun de leurs diagonales).
Dans tout quadrilatère les trois segments joignant les milieux de côtés opposés et les milieux des diagonales ont même milieu.

Le théorème reste vrai dans l'espace (figure de droite) : les quatre points non coplanaires sont alors les sommets d'un tétraèdre ; on peut voir sur l'applet ci-dessus que le milieu commun est le centre du parallélépipède.
voir aussi l'octaèdre de Varignon

Généralisation du théorème de Pythagore : dans un tétraèdre trirectangle (trois angles droits en un sommet) le carré de l'aire de la face non rectangle est égal à la somme des carrés des aires des trois autres faces.
La vérification est facile en plaçant le sommet trirectangle à l'origine d'un repère orthonormé et les trois autres sommets sur les trois axes. Le théorème de Pythagore permet de calculer les côtés a, b et c de la face non rectangle et la formule de Héron donne alors son aire.
La réciproque est fausse (on peut construire un contre-exemple en utilisant la condition de Minkowski).

Un plan passant par les milieux de deux arêtes opposées d'un tétraèdre coupe ce tétraèdre en deux polyèdres de même volume.
Ce joli résultat mérite trois preuves, toutes intéressantes :

preuve 1 (Vladimir Dubrovsky) :
Soit M et N les milieux de [AB] et [CD], et K (sur [AC]) et L (sur [BD]) les deux autres sommets de la coupe (en bleu clair). Une projection de direction (MN) donne un parallélogramme ACBD de centre M=N dans lequel AK/AC = BL/BD = k. Une "moitié" de (ABCD) est formé d'une pyramide (DKMLN) et d'un tétraèdre (LBCM), la seconde de (DKMLN) et (KADM), et
vol(DKMLN) = vol(DKMLN) car ils ont la même base et même hauteur
vol(LBCM) = vol(KADM) = (k/2)×vol(ABCD) bases(ABCD)/2 et hauteurs(ABCD)×k
Si K=A et L=B (ou K=C et L=D) les deux "moitiés" sont des tétraèdres de même volume : hauteur(ABCD) et base(ABCD)/2.

projection

preuve 2 (Vladimir Dubrovsky) :
Considérons les sections de (ABCD) parallèllement à (AB) et (CD). Ce sont des parallélogrammes, et la section coupe chacun d'eux en deux parties égales symétriques (voir la projection considérée ci-dessus). Alors l'égalité des volumes des deux solides découle du "principe de Cavalieri".

preuve 3 (Georges Lion) :
Considérons la symétrie ayant pour axe la droite joignant les milieux des deux arêtes opposées parallèlement au plan défini par les directions de ces deux arêtes ; elle préserve le tétraèdre, le plan de section et donc échange les deux "moitiés". Cette symétrie n'est pas orthogonale mais c'est une application affine dont l'application linéaire associée a pour déterminant 1, elle conserve donc les volumes.

généralisation : Si un plan divise deux arêtes opposées d'un tétraèdre dans un rapport donné, alors il divise le volume du tétraèdre dans le même rapport. (Altshiller-Court 1979, page 89)

Cette figure peut être modifiée dynamiquement en déplaçant les cinq points rouges avec le pointeur de la souris (le point définissant la section ne suit pas toujours le mouvement du pointeur !).

les tétraèdres équifaciaux (faces isométriques)

<=> leurs arêtes opposées ont même longueur,
<=> la sphère circonscrite et la sphère inscrite (tangente aux quatre faces) sont concentriques
<=> en chaque sommet la somme des angles vaut 180°
• les quatre hauteurs sont égales
• les perpendiculaires communes aux arêtes opposées passent par les milieux, sont concourantes et perpendiculaires entre elles
• l'isobarycentre G des sommets est centre des sphères circonscrite et inscrite ; le point de contact de la sphère inscrite avec une face est centre du cercle circonscrit à cette face
• les pieds des hauteurs, les orthocentres des faces et les milieux des hauteurs appartiennent à une sphère de centre G
• volume : V²=(b²+c²-a²)(c²+a²-b²)(a²+b²-c²)/72 où a, b et c désignent les longueurs des paires d'arêtes opposées
exemples : le tétraèdre régulier, deux des tétraèdres ci-dessus (voir patron ci-dessous)

les tétraèdres orthocentriques

<=> les quatre hauteurs sont concourantes (existence d'un orthocentre H)
<=> deux paires d'arêtes opposées sont orthogonales (propriété caractéristique)
<=> le pied d'une hauteur est orthocentre de la face opposée
<=> a²+a'²=b²+b'²=c²+c'² où l et l' sont les longueurs de deux arêtes opposées
• les trois paires d'arêtes opposées sont orthogonales
• les pieds des hauteurs sont orthocentres des faces opposées
• les trois perpendiculaires communes aux arêtes opposées sont concourantes en H
• les trois segments d'extrémités les milieux des arêtes opposées ont même longueur
• les milieux des arêtes et les pieds des perpendiculaires communes aux arêtes opposées appartiennent à une sphère de centre l'isobarycentre G des sommets (première sphère d'Euler) ; les cercles d'Euler des faces appartiennent à cette sphère
• G est milieu de [OH] (droite d'Euler du tétraèdre) où O est le centre de la sphère circonscrite
• les perpendiculaires aux faces en leurs centres de gravité sont concourantes en I sur la droite d'Euler
• dans le tétraèdre ABCD, les pieds des hauteurs, les centres de gravité des faces, et les points situées aux tiers de [HA], [HB], [HC] et [HD] appartiennent à une sphère de centre le milieu de [HI] (seconde sphère d'Euler)
• volume : V=l×l'×h où h est la longueur de la perpendiculaire commune à deux arêtes opposées de longueurs l et l'
exemples : le tétraèdre régulier, les tétraèdres trirectangles (H est un sommet)

les tétraèdres isodynamiques

aa'=bb'=cc' où l et l' sont les longueurs de deux arêtes opposées
<=> les segments joignant un sommet au centre du cercle inscrit dans la face opposée sont concourants

les tétraèdres de Crelle

a+a'=b+b'=c+c' où l et l' sont les longueurs de deux arêtes opposées
<=> il existe une sphère tangente aux six arêtes (inter-sphère)

exemple : les "tétraèdres 4-boules"
a+a'=b+b'=c+c'=r₁+r₂+r₃+r₄ où les r_i sont les rayons de quatre sphères centrées aux sommets et mutuellement tangentes.
Les points de contact de ces sphères sont aussi les points de contact des arêtes avec l'inter-sphère qui leur est tangente ; les intersections de l'inter-sphère avec les faces du tétraèdre sont les cercles inscrits aux faces.
Les trois segments joignant les points de contact sur deux arêtes opposées sont concourants.

Voir aussi les "kissing spheres" de Soddy.

des patrons de tétraèdres

Le patron du tétraèdre régulier est bien connu ; on en déduit facilement le patron du tétraèdre trirectangle régulier.
Voici le second patron du tétraèdre régulier :
Un triangle plié selon les côtés de son triangle des milieux est le patron d'un tétraèdre équifacial (le triangle doit avoir trois angles aigus.). Il suffit aussi de trois plis pour transformer un carré en patron d'un tétraèdre trirectangle. Un carré peut aussi être le patron d'un tétraèdre équifacial.

Quand on rabat une face latérale d'une pyramide sur son plan de base, on remarque que la hauteur de cette face pivote autour de son pied. On en déduit la construction du patron d'un tétraèdre :
On choisit le triangle de base et un point S (projection du sommet) qui peut être choisi sur un côté ou hors du triangle de base. Chaque triangle latéral a une hauteur passant par S, sur laquelle se trouve son troisième sommet. On choisit l'un d'eux (S' par exemple, avec HS'>HS) et on en déduit les deux autres par report des longueurs des côtés.
On peut choisir la hauteur SS'=h du tétraèdre en construisant le triangle rectangle HSS'.
tétraèdre (patron 5)

des coupes dans un tétraèdre

Si on coupe un tétraèdre SABC par un plan parallèle à la face ABC, par exemple à mi-hauteur, on obtient un pentaèdre (tronc de pyramide avec trois faces latérales trapézoïdales dont le volume est 7/8 du volume du tétraèdre).

Les hauteurs des trois trapèzes ne sont évidemment pas égales, mais il existe une direction de l'espace selon laquelle elles le paraissent. On peut la chercher expérimentalement en modifiant la position du solide.

Passons de l'espace au plan par projection du sommet S en S' sur le plan (ABC). La coupe à mi-hauteur est alors un triangle A'B'C', et le théorème des milieux dans un triangle prouve que A'B'C' est une réduction de ABC (pour un rapport de réduction différent de 1/2 on utilise le théorème de Thalès, ou une homothétie de centre S'). Pour que les trois trapèzes aient même hauteur, il faut et il suffit que chaque sommet de A'B'C' soit équidistant de deux côtés de ABC, donc appartienne à la bissectrice du secteur. Finalement, S' doit être le centre I du cercle inscrit à ABC. La direction cherchée est donc celle de (SI).

Voici deux exercices (calculs et constructions) pour tester votre maîtrise de l'espace :
• Calculer le volume d'un tétraèdre régulier d'arête a, et la mesure de l'angle de deux faces.
Comment vérifier ces résultats ?
• Dessiner en perspective cavalière un tétraèdre SABC, et choisir sur sa surface trois points P, Q et R non situés sur la même face. Construire la coupe de SABC par le plan (PQR).
La construction est facile si l'un des points est situé sur une arête ou si deux points se trouvent sur une même face.
Sinon il faut se fatiguer davantage pour obtenir la solution.

références :

Géométrie de l'espace et du plan de Yvonne et René Sortais (éditions Hermann - 1988) pages 305-336
construire des polyèdres qui pavent l'espace avec des tétraèdres ("mites") par Eduard Bobik (en anglais)
Voir aussi les pages consacrées aux kaléïdocycles

sommaire

avril 1999
mise à jour 08-05-2010