des puzzles intéressants
des puzzles élémentaires
Comme tous les antidiamants réguliers, un cube peut être coupé en deux polyèdres identiques ; le plan de coupe passe par les milieux de six arêtes, et on obtient deux heptaèdres dont une des faces est un hexagone régulier.
Un tétraèdre régulier peut être coupé en deux pentaèdres identiques ; le plan de coupe passe par les milieux de quatre arêtes, et la coupe est un carré. Chaque pentaèdre est un assemblage d'un demi-octaèdre et de deux tétraèdres réguliers.
On peut couper un cube en trois pyramides à base carrée identiques. Comme ces pyramides ont un plan de symétrie, on peut aussi découper le cube en six tétraèdres non réguliers (trois paires d'images dans un miroir).
Enfin, on peut couper un cube en six pyramides régulières à base carrée identiques (sommet commun au centre du cube). Si on utilise les plans de symétries de ces pyramides, on peut continuer le découpage en créant des tétraèdres.
des assemblages de pyramides qui forment un cube
Une pyramide est régulière si sa base est un polygone régulier, et si toutes ses arêtes latérales ont même longueur (les triangles latéraux sont donc isocèles et identiques). Les trois images ci-dessus montrent celles qui nous intéressent maintenant :
• le brave tétraèdre régulier (Tr),
• le demi-octaèdre (Po) qui est une pyramide à base carrée avec toutes ses arêtes de même longueur,
• le tétraèdre "coin de cube" (Tc) qui a une face équilatérale et les trois autres rectangles isocèles (tétraèdre régulier trirectangle).
On sait que quatre sommets d'un cube définissent un tétraèdre régulier ; en coupant quatre "coins" deux à deux opposés, on peut donc découper un cube en cinq pyramides régulières (un Tr et quatre Tc) pour réaliser un puzzle cubique P[5].
Le dessin ci-dessus montre qu'un tétraèdre régulier peut être découpé en 2x3=6 pyramides régulières (deux Po et quatre Tr). On réalise ainsi un joli puzzle cubique P[10] de dix pyramides régulières (4 Tc + 4 Tr + 2 Po).
Un cuboctaèdre s'obtient en coupant les huit "coins" d'un cube (troncature par les milieux des arêtes). Les segments joignant les douze sommets au centre de symétrie définissent quatorze pyramides régulières (six Po et huit Tr) dont les bases sont les faces du cuboctaèdre. On aboutit ainsi à un puzzle cubique P[22] de vingt-deux pyramides régulières (8 Tc + 8 Tr + 6 Po).
Si on utilise l'anticube (stella octangula), on peut réaliser un autre découpage du cube en vingt-deux pyramides dont dix sont régulières (deux Po et huit Tr qui forment l'anticube) ; les douze autres sont des tétraèdres non réguliers mais qui sont chacun un assemblage de deux Tc. Finalement on obtient un puzzle cubique P[34] de trente-quatre pyramides régulières (24 Tc + 8 Tr + 2 Po).
De plus, Po peut être découpé en quatre Tc à l'aide des deux plans de symétrie contenant les diagonales du carré de base. Ainsi P[10] devient P[16] (seize pyramides régulières) ; P[22] et P[34] sont alors formés chacun des mêmes quarante pyramides régulières (32 Tc + 8 Tr). Ce nouveau puzzle cubique P[40] peut donc être assemblé de deux manières différentes selon la disposition des Tc (une face extérieure du puzzle apparaît différemment selon la configuration : P[22] ou P[34], avec 32 ou 24 Tc visibles).
Les deux dispositions sont des assemblages de huit puzzles cubiques P[5], et on passe d'une configuration à l'autre en échangeant les "demi-cubes" (formés chacun de quatre P[5]) inférieur et supérieur.
Remarquons que l'étoile de Kepler (8 Tc + 8 Tr) est formée de huit diamants (1 Tc + 1 Tr) assemblés autour du centre du solide ; les huit Tc forment l'octaèdre régulier central.
Le volume de Tc, qui est aussi une pyramide de base un demi-carré, est facile à calculer ; on peut donc en déduire sans peine les volumes du cuboctaèdre, du tétraèdre régulier et de l'anticube (respectivement 5/6, 1/3 et 1/2 du volume du cube).
Pour finir, notons qu'on a prouvé qu'il n'est pas possible de découper un cube ni en tétraèdres réguliers, ni en cubes tous de tailles différentes.
