Rappelons d'abord une définition : Une construction géométrique est un dessin réalisé en n'utilisant que deux instruments :
• une règle pour tracer une droite passant par deux points,
• et un compas pour reporter une distance ou/et tracer un (arc de) cercle dont on connaît le centre et soit le rayon, soit un de ses points.
Les intersections de deux droites ou (arcs de) cercles définissent alors de nouveaux points qui permettent de faire progresser la construction.
Remarque : on peut évidemment construire un octogone régulier à partir d'un cercle avec deux diamètres perpendiculaires et leurs bissectrices ; la construction à partir d'un carré proposée ici est moins connue (exercice : la justifier !). | |
La construction du pentagone régulier n'est pas bien plus compliquée.
Dans un cercle muni de deux diamètres perpendiculaires (OA) et (OA'), on construit le cercle de diamètre [OA'] ; son centre est le milieu M de [OA']. La droite (AM) coupe ce petit cercle en P et Q. Les cercles de centre A passant par P et Q coupent le grand cercle en quatre sommets du pentagone ; le cinquième sommet est diamétralement opposé à A. Remarque : On peut éviter la construction du milieu M à l'aide de la médiatrice de [OA'] en changeant l'ordre des tracés des deux premiers cercles : commencer par tracer une droite, y choisir un point M, et tracer un cercle de centre M et de diamètre (OA') ; puis tracer le cercle de rayon [OA']. La construction d'une médiatrice est cependant utile (mais pas nécessaire !) pour obtenir le diamètre (OA) perpendiculaire à (OA'). |
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Je trouve la preuve de cette construction "jolie" ; le raisonnement par analyse et synthèse mérite qu'on s'y arrête un instant. Profitons aussi de l'occasion pour rappeler les théorèmes sur l'angle d'un secteur dont les côtés sont sécants à un cercle. Pour être concis nous utiliseront le vocabulaire "classique" (angle inscrit, au centre, intérieur, extérieur quand le sommet du secteur se trouve sur, au centre, à l'intérieur, à l'extérieur du cercle) bien qu'il soit incorrect de parler du sommet ou des côtés d'un angle. L'angle est au secteur ce que la longueur est au segment. Personne ne songerait à parler des extrémités d'une longueur ! • Un angle inscrit est la moitié de l'angle au centre qui intercepte le même arc (l'angle inscrit a même mesure que l'arc qu'il intercepte).
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• Supposons le problème résolu et analysons la figure de droite sur laquelle [AB] et [AD] sont les côtés des deux décagones réguliers : le convexe ABCDEFGHIJ et l'étoilé ADGJCFIBEH.
Avec AB=x, AD=y et r rayon du cercle, on a : r=y-x car ABN et DON sont isocèles en A et D (théorèmes ci-dessus), d'où OD=ND=AD-AN=AD-AB, r²=xy car AON et ADO sont semblables (ils ont les mêmes angles), d'où AO/AD=AN/AO=AB/OA. Avec y=x+r, la seconde relation conduit à l'équation r²=x²+rx, qui a seulement une solution positive. • La construction proposée ci-dessus fournit justement l'unique couple (x,y) vérifiant ces deux propriétés : x=AP et y=AQ (rayons des deux arcs de cercles). En effet, dans le triangle rectangle AMO on a AM²=OA²+OM² (théorème de Pythagore), donc (x+r/2)²=r²+(r/2)², soit x²+rx=r² ; on a aussi y=AP+PQ=x+r. Et voilà ! remarques : Sachant que φ²=1+1/φ où φ=(1+√5)/2 désigne le nombre d'or, on calcule x=r/φ et y=rφ. OAB, ABN, DNO, ANO et OAD sont tous des triangles d'or. Les triangles rectangles ABF et ADF fournissent (théorème de Pythagore) les côtés BF et DF des pentagones étoilé et convexe, et on vérifie que BF/DF=φ. Dans un pentagone régulier convexe le rapport du rayon du cercle circonscrit au côté est environ 0,85. |
Attention ! Tous les polygones réguliers ne sont pas constructibles (à la règle et au compas) ; l'heptagone en est le premier exemple.
Vous pouvez examiner tous les types de polygones réguliers (ordres 3 à 14).
Remarque : si on a simplement besoin d'un dessin, une méthode d'approximations successives permet d'obtenir n'importe quel polygone d'ordre n en reportant n fois le côté le long d'un cercle (en trois ou quatre étapes on arrive à un résultat satisfaisant) :
• sur un cercle donné, à partir d'un côté approximatif c0 : on reporte n fois la longueur c0 et on constate une erreur e1 ; on recommence avec c1 = c0 ± e1/n (on corrige en ajoutant/retranchant un n-ième de l'erreur), puis à nouveau avec c2 = c1 ± e2/n, et ainsi de suite...
• avec un côté donné c, sur un cercle de rayon approximatif r0 : on reporte n fois la longueur c, et on recommence avec un cercle de rayon r1 après correction de l'erreur, et ainsi de suite...
Le théorème des parallèles équidistantes semble l'outil adéquat, mais voici une construction n'utilisant que des milieux, basée sur une propriété du parallélogramme : deux segments définis par les extrémités d'une diagonale et par les milieux M et N de deux côtés opposés partagent l'autre diagonale en trois.
On peut aussi utiliser le centre de gravité d'un triangle qui se trouve au tiers de chaque médiane : on choisit un segment [MN] de milieu A et on construit le centre de gravité du triangle MNB (avec I milieu de [NB]). |
face du dodécaèdre rhombique : losange R2
(le rapport des diagonales est √2 = 1,414...) |
face du triacontaèdre rhombique : losange d'or
(le rapport des diagonales est le nombre d'or 1,618...) |
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polyèdres convexes - polyèdres non convexes - polyèdres intéressants - sujets connexes | août 1999 mis à jour 27-11-2017 |