Tout polyèdre convexe a une unique "forme canonique" qui est généralement une version déformée du polyèdre, avec toutes ses arêtes tangentes à la sphère unité et l'origine au centre de gravité des points de contact.
Les faces d'un polyèdre canonique ne sont pas nécessairement régulières. Les plans et axes de symétrie originaux sont préservés sur la forme canonique. Deux polyèdres canoniques duals ont leurs arêtes perpendiculaires au point de contact.
Les polyèdres réguliers et semi-réguliers sont canoniques. Pour un polyèdre "très irrégulier" il est intéressant, et parfois surprenant, d'observer sa forme canonique.
John Conway a popularisé ce joli théorème qui malheureusement ne donne pas de méthode pour trouver la forme canonique. Heureusement George W. Hart a écrit un algorithme pour le faire ; son code Mathematica est disponible sur son site (voir référence) et a été utilisé dans les exemples suivants.
Ces deux pentaèdres (demi tétraèdre et demi cube) ont la même forme canonique (prisme régulier triangulaire).
Ces deux heptaèdres dérivent du cube ; il n'y a pas d'angles droits sur leurs formes canoniques.
Les formes canoniques des "hermaphrodites" (composés d'un demi prisme et d'un demi diamant) et des "antihermaphrodites" (composés d'un demi antiprisme et d'un demi antidiamant) sont leurs propres duals. Voici les modèles pentagonaux (11 faces et 11 sommets).
L'énéaèdre à gauche est le polyèdre le plus simple avec un nombre impair de n-faces (n=4, donc ses 9 faces sont des quadrilatères).
Son dual (à droite) a donc 9 sommets d'ordre 4 et 11 faces (3 quadrilatères et 8 triangles).
Il est surprenant de découvrir un axe de symétrie d'ordre 3 sur les formes canoniques.
| référence : | http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/canonical.html par George W. Hart (en anglais). |
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janvier 2004 mise à jour 03-02-2004 |