sphères et polyèdres

empilements de sphères

Lorsque l'on veut empiler efficacement des sphères identiques on choisit intuitivement un empilement périodique comme l'empilement cubique compact ou CCP ("cubic close packing").
Il y a trois façons de regarder cet empilement : les deux premières sont classiques et la troisième est due à Steve Waterman.


Soyez patients pendant l'initialisation !
Des vues différentes d'un même bloc montrent comment les couches sont disposées.

polyèdres de Waterman

Steve Waterman a concentré son intérêt sur les enveloppes convexes d'ensembles de centres de sphères dans un CCP ; un ensemble est limité par la sphère centrée à l'origine et de rayon N*sqrt(2). L'entier N est appelé la "racine".
Exemples : pour N=1 on obtient 13 centres, et l'enveloppe convexe est un cuboctaèdre (12 sommets) ; pour N=2 on obtient 6 centres de plus (19 en tout) qui forment la seconde enveloppe convexe, un octaèdre régulier.
Si on incrémente N, généralement (mais pas toujours) de nouveaux points s'ajoutent à l'ensemble précédent et deviennent des sommets de la nouvelle enveloppe convexe ; néanmoins un point peut être un sommet de deux ou plusieurs enveloppes convexes successives. Quand N augmente les polyèdres de Waterman deviennent plus "sphériques". Ils ont tous une symétrie octaédrale (comme le cube).

Parmi eux il y a le cuboctaèdre (W1 et W4), l'octaèdre régulier (W2) et l'octaèdre tronqué (W10).
Voici quelques autres exemples : (pour en voir davantage visitez les références)
 
racine 6      
 
racine 12      
 
racine 24      
 
racine 48      
 
racine 96      
 
racine 192      

Steve Waterman a étudié davantage de polyèdres en rapport avec le CCP en déplaçant l'origine en d'autres positions intéressantes (six en tout : les centres des agrégats de base constitués de 1, 2, 3, 4, 5 or 6 sphères). Par exemple avec l'origine en un "vide" on obtient successivement l'octaèdre régulier, le cube, l'octaèdre tronqué... On peut aussi utiliser d'autres définitions des ensembles de sphères.

Cette technique de construction de polyèdres peut aussi être utilisée avec d'autres empilements : HCP, cubique...  Personne ne peut prévoir quel serait l'intérêt des résultats de telles recherches ; cependant, en plus des trois façons de le construire, le CCP a deux propriétés qui lui sont propres et qui expliquent pourquoi Steve Waterman a concentré son attention sur cet empilement : les sphères de diamètre 1 sont à des distances qui sont des racines carrées d'entiers, et les centres des sphères de diamètre sqrt(2) ont leurs coordonnées (x,y,z) entières.

projection de Waterman

Il est bien connu que pour toute représentation du globe terrestre sur une carte plane des distorsions se produisent dans les distances, les angles, les aires et les formes, quelle que soit la projection utilisée. "Toutes les cartes ont un point de vue et la qualité d'une carte dépend de son but" affirme Bob Abramms, l'un des auteurs de Many ways to see the world  (livre et DVD, en anglais). La plus connue est la projection cylindrique de Mercator (première mappemonde publiée en 1569) qui produit une grille rectangulaire parallèles/méridiens ; les plus courts chemins y sont représentés par des segments de droites et les angles sont corrects, mais les contours sont déformés, spécialement aux grandes latitudes. La projection de Robinson (1960) réduit les grandes distorsions de celle de Mercator.
Un autre moyen de résoudre le problème des distorsions consiste à projeter la sphère sur un polyèdre (projection centrale) ; davantage de faces produisent un résultat plus précis, mais rapidement la carte (le patron du polyèdre) devient vilaine. R. Buckminster Fuller a utilisé un icosaèdre régulier pour sa "projection Dymaxion Ciel-Océan" (1943) mais on y voit difficilement l'équateur.
Steve M. Waterman a utilisé un des polyèdres qu'il a défini, le W5 qui est un octaèdre régulier tronqué par les sommets au quart des arêtes. Le résultat est précis et on peut éviter les coupures dans les continents ; comme la carte est un patron du polyèdre, différents arrangements des faces, et donc des coupures dans les océans, sont possibles.
La "carte papillon" de Steve est vraiment une des plus belles - et précise ! - cartes du monde.



le W5 (racine 5)
map

la "carte papillon" (vue Atlantique)

le "globe de Waterman" (Izidor Hafner)

Merci à Steve pour son aimable aide et ses suggestions pertinentes pendant l'élaboration de cette page et de la page consacrée au CCP.

références :   les pages de Steve Waterman
les pages de Paul Bourke avec un générateur de polyèdres de Waterman
polyèdres de Waterman de Kirby Urner  -  applet Waterman de Mark Newbold
Great Stella de Robert Webb (étiquette "Melbourne" sur le globe de liens) génère des polyèdres de Waterman
"World's maps on polyhedra nets" par Izidor Hafner et Tomislav Zitko - animations LiveGraphics3D
"Cartographical Map Projections" (avec une page "Polyhedral Maps") par Carlos A.Furuti


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mis à jour 19-06-2005