des polyèdres de Stewart

le "G3"

On peut chercher des polyèdres avec un sommet de type donné ; un pqr-sommet est commun à trois faces : un p-gone (polygone régulier à p côtés), un q-gone et un r-gone. La liste des types de sommets est longue, et on trouve de nombreux exemples parmi les polyèdres de Johnson et les polyèdres uniformes. Cependant on n'y trouve aucun polyèdre avec un 345-sommet !
En voici un assez simple : le "G3" de Bonnie Stewart.
Avec ses 13 faces et 13 sommets, ce polyèdre a six 345-sommets et une symétrie diédrale d'ordre 3, mais il n'est pas minimal, ni en nombre de faces, ni en nombre de sommets.

"G3" a aussi un 555-sommet, comme le dodécaèdre régulier ; le premier a un minimum de sommets, le second un minimum de faces.

Il ne faut pas manquer d'imagination pour chercher - et trouver ! - de tels polyèdres.

des exemples de toroïdes

B.M. Stewart a décrit de nombreux toroïdes (polyèdres avec au moins un "tunnel"), et en particulier ceux formés d'assemblages de polyèdres (semi)réguliers. En voici quatre exemples :
assemblage de vingt cubes
 

anneau de huit dodécaèdres réguliers
anneau de huit octaèdres réguliers
(deltaèdre minimal : 24 sommets et 48 faces)
 

pour obtenir un anneau de huit icosaèdres réguliers
(deltaèdre à 144 faces)
il suffit d'inscrire un icosaèdre dans chaque octaèdre

 
Mais un polyèdre n'est un "toroïde de Stewart" que si :
•  ses faces sont régulières, ne se coupent pas, et deux faces avec une arête commune ne sont pas coplanaires,
•  il est "quasi-convexe" (son enveloppe convexe n'a pas de nouvelles arêtes) et possède au moins un "tunnel".
En voici deux exemples simples :
A gauche Johnson 18 percé par une coupole triangulaire (Johnson 03) augmentée d'un prisme triangulaire.
 
A droite un octaèdre tronqué percé par quatre coupoles triangulaires et un octaèdre régulier (au centre).
références :   Adventures Among the Toroids  par B.M. Stewart, 1970.
http://www.orchidpalms.com/polyhedra/ (pages "acrohedra" et "toroids") par Jim McNeill (en anglais).

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mis à jour 30-01-2008