diagrammes de Schlegel

théorème fondamental

Les diagrammes de Schlegel sont des graphes planaires (graphes peut l'on peut dessiner dans le plan sans croisements d'arêtes) associés aux polyèdres : les noeuds et lignes du graphe correspondent aux sommets et arêtes du polyèdre.
Théorème : Tout graphe tri-connecté peut conduire à un polyèdre convexe, et un graphe associé à un polyèdre est tri-connecté.
Une définition simple de la tri-connexion est : toute paire de sommets est connectée par trois chemins différents ; ceci est équivalent au fait que l'on peut supprimer deux sommets quelconques, et toutes les arêtes qui y aboutissent, sans détruire la connectivité du graphe.
Une façon élémentaire de dessiner des diagrammes de Schlegel est de "projeter" le squelette du polyèdre sur une de ses faces (les noeuds représentant les sommets n'appartenant pas à cette face doivent se trouver à l'intérieur de la face). ombre d'un cube

quelques exemples

Les diagrammes classiques des cinq polyèdres platoniciens (tétraèdre, cube, octaèdre, dodécaèdre et icosaèdre) :
Schlegel platoniciens

Les diagrammes des deux types de pentaèdres (pyramides et "toits") :

Schlegel pentagones
Les diagrammes des sept types d'hexaèdres convexes :
Schlegel hexaèdres

Les hermaphrodites sont des assemblages d'un demi prisme et d'un demi diamant.
Les antihermaphrodites sont des assemblages d'un demi antiprisme et d'un demi antidiamant.
Voici les diagrammes des formes pentagonales de ces deux polyèdres dont les formes canoniques sont autoduales (11 faces et 11 sommets).

Schlegel (anti)hermaphrodites

Diagrammes de deux curieux polyèdres : le plus simple avec un nombre impair de n-faces (9 quadrilatères) et un dual topologique.

Schlegel (9 quadrilatères et dual)

une preuve de la formule d'Euler :  f+s = a+2

On passe du polyèdre à son diagramme de Schlegel en supprimant une face : la formule devient  polygones+sommets = côtés+1.
On fait alors subir au diagramme des transformations que ne modifient pas cette relation  p+s=c+1  :
  •   on triangule tous les polygones à l'aide de diagonales : pour chaque diagonale on ajoute un côté et un polygone
  •   on supprime les triangles à partir du bord du diagramme :
      - si un seul côté du triangle appartient au bord du diagramme, on supprime ce côté et le triangle,
      - si deux côtés appartiennent au bord, on supprime ces deux côtés, leur sommet commun et le triangle.
Quand il ne reste qu'un triangle on a  1+3=3+1  ce qui correspond à  p+s=c+1  pour tous les diagrammes, et à  f+s=a+2  pour le polyèdre.
Euler preuve
Sur cet exemple (hexaèdre avec 6+8=12+2) on a successivement 5+8=12+1, 9+8=16+1, 8+8=15+1, 7+8=14+1, 6+7=12+1 ... et finalement 1+3=3+1.


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mis à jour 15-03-2007