le kaléïdoèdre de la grille IsoAxis

Kaléïdoèdre ? Vient du grec : "kalos" (beau) + "eidos" (aspect) + "hedra" (faces).
IsoAxis, créée et brevetée par le dessinateur Wallace Walker, est une grille rectangulaire de 36+24=60 triangles rectangles isocèles répartis en 6 paires de bandes identiques. En la pliant face contre face selon les 11 bords des bandes, et dos contre dos selon les 2x(5+2)=14 lignes qui forment une grille carrée, elle se met presque naturellement "en forme" ; il suffit alors d'assembler les deux "bouts" pour obtenir un curieux objet annulaire qui peut prendre l'aspect d'un polyèdre non convexe à 36 faces (les 24 triangles manquants sont repliés à l'intérieur). Il est très étonnant de découvrir que cet "anneau" peut tourner sur lui-même en changeant d'apparence, comme une fleur qui éclôt.
 
IsoAxis

Des positions remarquables et une animation de cet étonnant objet
sont présentées sur deux autres pages.

Si, après l'avoir allongée d'un nombre pair de bandes, on déforme la grille en rapprochant les bandes extrêmes, on obtient d'autres objets aussi étonnants dont la manipulation devient délicate. Les possibilités sont infinies.

IsoAxis or Cette grille de 18 bandes de triangles d'or (36°-108°-36°) conduit à un objet dont quatre vues sont présentées sur une autre page.

Pour découvrir cette petite merveille, il vous faudra reproduire la grille et procéder au pliage et à l'assemblage en réunissant les bandes extrêmes (comme on le ferait pour créer un prisme droit régulier). La beauté se mérite ! IsoAxis vous récompensera largement de vos efforts. De plus, rien n'interdit de colorier ou de décorer les triangles pour augmenter le plaisir visuel.

les kaléïdocycles

kaléïdocycle : "kalos"=beau + "eidos"=aspect + "kuklos"=cercle
Si l'on étire IsoAxis pour que les 36 grands triangles aient tous leurs angles aigus, l'objet que l'on obtient par pliage de la grille et assemblage de ses bords opposés est un anneau de 12 tétraèdres !  Ce kaléïdocycle peut encore tourner sur lui-même.
Ci-dessous on a étiré la grille pour obtenir 36 triangles équilatéraux. Une modification supplémentaire permet de faire apparaître 48 triangles identiques, en 12 bandes de quatre (ce patron conduit au même kaléïdocycle régulier) : chaque bande est alors le patron d'un tétraèdre régulier, et les bords (lignes verticales) deviennent les arêtes de liaison (opposées et orthogonales) avec les deux tétraèdres voisins. Pour modifier le diamètre de l'anneau il suffit d'ajouter ou de supprimer des paires de bandes (au moins 8 tétraèdres réguliers).
IsoAxis equi_1 IsoAxis equi_2
Tous les triangles sont isocèles, donc la chaîne de tétraèdres se referme sans problème si leur nombre est pair ; en effet les tétraèdres sont équifaciaux avec deux arêtes opposées orthogonales qui servent de liaisons entre eux. On peut donc créer une infinie variété de kaléïdocycles.
On a prouvé que le nombre de tétraèdres (non réguliers) peut être réduit à 6, et que "l'oeil" de l'anneau peut être réduit à un point quand les arêtes de liaison sont coplanaires.
Marcus Engel a montré récemment qu'il existe aussi des kaléïdocycles où toutes les faces des tétraèdres sont des triangles rectangles ; le "cube de Schatz" est une telle configuration d'ordre 6 remarquable.

Soyez patients pendant l'initialisation ! (rechargez la page si une animation ne démarre pas)


kaléïdocycle régulier d'ordre 12
(grille IsoAxis)		 kaléïdocycle fermé d'ordre 12
(tétraèdres non réguliers)		 kaléïdocycle rectangle d'ordre 12
(faces rectangles)

Si on utilise une grille oblique de triangles comme patron, on peut obtenir un kaléïdocycle torsadé ; la chaîne de tétraèdres se referme alors comme un ruban de Möbius. En faire la description mathématique est un beau défi ; qui le relèvera ? relevé par Marcus Engel ; son animation paramétrée englobe différents types de kaléïdocycles, y compris les torsadés (dont le nombre d'éléments peut être impair).
 

références :   M.C.Escher kaléïdocycles  par Doris Shattschneider et Wallace Walker (Taco - 1988)
   avec 17 patrons de polyèdres et de kaléïdocycles décorés par des "motifs périodiques" de M.C.Escher.
Metamorphs  par Robert Byrnes, en anglais (Tarquin Publications - 2004),
   avec 14 patrons d'objects que l'on peut tourner sur eux-mêmes (dont 7 kaléïdocycles).
Le site de Marcus Engel : animation (applet avec tous les types de kaléïdocycles), théorie, patrons.
A Group Theoretic Approach to Kaleidocycles and Cubeocycles  par Lisa Marie Bush
A voir : les jolis kaléïdocycles de Nicolas Hannachi (Math à mâter ).
Une étude élémentaire du kaléïdocycle fermé d'ordre 6 par Xavier Hubaut.

d'autres kaléïdocycles : kaléïdo 1 - kaléïdo 2
  sommaire   février 2000
mis à jour 13-03-2009