patron des tétraèdres (quatre triangles rectangles)
plié de deux manières il donne deux tétraèdres symétriques par rapport à un plan
longueurs des arêtes : a, a√2, a√3
(le milieu de la plus grande est centre de la sphère circonscrite)
S'il n'est pas possible de paver l'espace avec des tétraèdres réguliers, on peut néanmoins réaliser des pavages périodiques avec d'autres polyèdres parmi lesquels les tétraèdres de Hill.
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Construction : sur les trois droites orthogonales au plan d'un triangle équilatéral AA1A2 et passant par ses sommets on place trois points B, C et D tels que A1B=h, A2C=2h et AD=3h.
(ABCD) est un tétraèdre de Hill (type 1) ; il a un axe de symétrie défini par les milieux E et F de [AD] et [BC]. En le coupant en deux "moitiés" par les plans (BCE) et (ADF) on obtient deux autres tétraèdres de Hill (types 2 et 3) : (ABCE) et (ABDF). |
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| Voici une élégante dissection d'un tétraèdre de Hill de type 1 (Scöbi et Hanegraaf - 1985).
On décompose le tétraèdre en trois polyèdres (deux tétraèdres et un hexaèdre) avec lesquels on reconstitue un prisme droit triangulaire à base équilatérale (ici deux rotations suffisent). Une dissection est donc un "puzzle" commun aux deux polyèdres : tétraèdre de Hill ↔ {P4, P6, P4'} ↔ prisme triangulaire. |
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Le troisième problème de Hilbert (1900) : étant donnés deux tétraèdres avec même aire de base et même hauteur (donc même volume), existe-t-il un découpage de l'un en un nombre fini de polyèdres qui permette de reconstituer l'autre ?
En fait Hilbert n'en parla pas pendant sa fameuse conférence ; Max Dehn venait de montrer que la réponse est non !
Pour prouver que le tétraèdre régulier n'est pas équidécomposable avec le cube de même volume Dehn associa à chaque polyèdre un invariant. Plus généralement, Jean-Pierre Sydler démontra en 1965 que deux polyèdres sont équidécomposables si et seulement s'ils ont même volume et même invariant de Dehn.
L'invariant de Dehn est un nombre δ(P) qui ne dépend que des arêtes du polyèdre P, plus précisément de leurs longueurs λi et des angles dièdres αi des deux faces qui se coupent selon l'arête λi :
• δ est additif pour les longueurs et pour les angles : si P est décomposé en n polyèdres Pk, alors δ(P) est la somme des n δ(Pk)
• δ(P) = Σ λi×f(αi) pour l'ensemble des arêtes de P, où f est une fonction Q-linéaire vérifiant f(π)=0
(cette dernière condition permet d'ajouter une diagonale de face comme arête sans modifier δ(P) puisque l'angle dièdre correspondant vaut π)
En 1980 Debrunner démontra que l'invariant de Dehn d'un polyèdre qui pave périodiquement l'espace est nul (comme celui du cube).
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décomposition du cube en six tétraèdres birectangles de Schläfli
patron des tétraèdres (quatre triangles rectangles) plié de deux manières il donne deux tétraèdres symétriques par rapport à un plan longueurs des arêtes : a, a√2, a√3 (le milieu de la plus grande est centre de la sphère circonscrite) |
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| références : |
• définitions des tétraèdres de Hill et dissections par Izidor Hafner (en anglais)
• Dehn invariant (en anglais) • Décomposition des polyèdres et le troisième problème de Hilbert par Jean Lefort |
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polyèdres convexes - polyèdres non convexes - polyèdres intéressants - sujets connexes | juillet 2012 - mis à jour 30-07-2012 |